Medidas autosemejantes en el plano, momentos y matrices de Hessenberg

La tesis MEDIDAS AUTOSEMEJANTES EN EL PLANO, MOMENTOS Y MATRICES DE HESSENBERG se enmarca entre las áreas de la teoría geométrica de la medida, la teoría de polinomios ortogonales y la teoría de operadores. La memoria aborda el estudio de medidas con soporte acotado en el plano complejo vistas con la óptica de las matrices infinitas de momentos y de Hessenberg asociadas a estas medidas que en la teoría de los polinomios ortogonales las representan. En particular se centra en el estudio de las medidas autosemejantes que son las medidas de equilibrio definidas por un sistema de funciones iteradas (SFI). Los conjuntos autosemejantes son conjuntos que tienen la propiedad geométrica de descomponerse en unión de piezas semejantes al conjunto total. Estas piezas pueden solaparse o no, cuando el solapamiento es pequeño la teoría de Hutchinson [Hut81] funciona bien, pero cuando no existen restricciones falla. El problema del solapamiento consiste en controlar la medida de este solapamiento. Un ejemplo de la complejidad de este problema se plantea con las convoluciones infinitas de distribuciones de Bernoulli, que han resultado ser un ejemplo de medidas autosemejantes en el caso real. En 1935 Jessen y A. Wintner [JW35] ya se planteaba este problema, lejos de ser sencillo ha sido estudiado durante más de setenta y cinco años y siguen sin resolverse las principales cuestiones planteadas ya por A. Garsia [Gar62] en 1962. El interés que ha despertado este problema así como la complejidad del mismo está demostrado por las numerosas publicaciones que abordan cuestiones relacionadas con este problema ver por ejemplo [JW35], [Erd39], [PS96], [Ma00], [Ma96], [Sol98], [Mat95], [PS96], [Sim05],[JKS07] [JKS11]. En el primer capítulo comenzamos introduciendo con detalle las medidas autosemejante en el plano complejo y los sistemas de funciones iteradas, así como los conceptos de la teoría de la medida necesarios para describirlos. A continuación se introducen las herramientas necesarias de teoría de polinomios ortogonales, matrices infinitas y operadores que se van a usar. En el segundo y tercer capítulo trasladamos las propiedades geométricas de las medidas autosemejantes a las matrices de momentos y de Hessenberg, respectivamente. A partir de estos resultados se describen algoritmos para calcular estas matrices a partir del SFI correspondiente. Concretamente, se obtienen fórmulas explícitas y algoritmos de aproximación para los momentos y matrices de momentos de medidas fractales, a partir de un teorema del punto fijo para las matrices. Además utilizando técnicas de la teoría de operadores, se han extendido al plano complejo los resultados que G. Mantica [Ma00, Ma96] obtenía en el caso real. Este resultado es la base para definir un algoritmo estable de aproximación de la matriz de Hessenberg asociada a una medida fractal u obtener secciones finitas exactas de matrices Hessenberg asociadas a una suma de medidas. En el último capítulo, se consideran medidas, μ, más generales y se estudia el comportamiento asintótico de los autovalores de una matriz hermitiana de momentos y su impacto en las propiedades de la medida asociada. En el resultado central se demuestra que si los polinomios asociados son densos en L2(μ) entonces necesariamente el autovalor mínimo de las secciones finitas de la matriz de momentos de la medida tiende a cero. ABSTRACT The Thesis work “Self-similar Measures on the Plane, Moments and Hessenberg Matrices” is framed among the geometric measure theory, orthogonal polynomials and operator theory. The work studies measures with compact support on the complex plane from the point of view of the associated infinite moments and Hessenberg matrices representing them in the theory of orthogonal polynomials. More precisely, it concentrates on the study of the self-similar measures that are equilibrium measures in a iterated functions system. Self-similar sets have the geometric property of being decomposable in a union of similar pieces to the complete set. These pieces can overlap. If the overlapping is small, Hutchinson’s theory [Hut81] works well, however, when it has no restrictions, the theory does not hold. The overlapping problem consists in controlling the measure of the overlap. The complexity of this problem is exemplified in the infinite convolutions of Bernoulli’s distributions, that are an example of self-similar measures in the real case. As early as 1935 [JW35], Jessen and Wintner posed this problem, that far from being simple, has been studied during more than 75 years. The main cuestiones posed by Garsia in 1962 [Gar62] remain unsolved. The interest in this problem, together with its complexity, is demonstrated by the number of publications that over the years have dealt with it. See, for example, [JW35], [Erd39], [PS96], [Ma00], [Ma96], [Sol98], [Mat95], [PS96], [Sim05], [JKS07] [JKS11]. In the first chapter, we will start with a detailed introduction to the self-similar measurements in the complex plane and to the iterated functions systems, also including the concepts of measure theory needed to describe them. Next, we introduce the necessary tools from orthogonal polynomials, infinite matrices and operators. In the second and third chapter we will translate the geometric properties of selfsimilar measures to the moments and Hessenberg matrices. From these results, we will describe algorithms to calculate these matrices from the corresponding iterated functions systems. To be precise, we obtain explicit formulas and approximation algorithms for the moments and moment matrices of fractal measures from a new fixed point theorem for matrices. Moreover, using techniques from operator theory, we extend to the complex plane the real case results obtained by Mantica [Ma00, Ma96]. This result is the base to define a stable algorithm that approximates the Hessenberg matrix associated to a fractal measure and obtains exact finite sections of Hessenberg matrices associated to a sum of measurements. In the last chapter, we consider more general measures, μ, and study the asymptotic behaviour of the eigenvalues of a hermitian matrix of moments, together with its impact on the properties of the associated measure. In the main result we demonstrate that, if the associated polynomials are dense in L2(μ), then necessarily follows that the minimum eigenvalue of the finite sections of the moments matrix goes to zero.

La influencia del "Home Advantage" en el resultado de los momentos críticos en los partidos de baloncesto

El objeto de estudio del presente trabajo ha sido identificar las variables que determinan ganar o perder en los momentos críticos en los partidos de baloncesto en función de la localización del partido. Se han analizado un total de 41 momentos críticos, correspondientes a 30 partidos de la liga regular de la ACB de la temporada 2007-2008, que cumplen, según la literatura, con la noción de momento crítico y corresponden a los tiempos extras y los últimos 5 minutos de partidos donde la diferencia de puntos es menor o igual a 6. Los resultados muestran mejores valores en los equipos ganadores cuando juegan como local, en los rebotes defensivos y los tiros libres anotados; y cuando juegan como visitante en los lanzamientos de 2 puntos fallados.

Análisis cuantitativo y cualitativo de los momentos críticos en baloncesto = Quantitative and qualitative analysis of the critical moments in basketball

El MC en baloncesto es aquel fenómeno relacionado con el juego que presenta unas características particulares determinadas por la idiosincrasia de un equipo y puede afectar a los protagonistas y por ende al devenir del juego. En la presente Tesis se ha estudiado la incidencia del MC en Liga A.C.B. de baloncesto y para su desarrollo en profundidad se ha planteado dos investigaciones una cuantitativa y otra cualitativa cuya metodología se detalla a continuación: La investigación cuantitativa se ha basado en la técnica de estudio del “Performance analysis”, para ello se han estudiado cuatro temporadas de la Liga A.C.B. (del 2007/08 al 2010/11), tal y como refleja en la bibliografía consultada se han tomado como momentos críticos del juego a los últimos cinco minutos de partidos donde la diferencia de puntos fue de seis puntos y todos los Tiempos Extras disputados, de tal manera que se han estudiado 197 momentos críticos. La contextualización del estudio se ha hecho en función de la variables situacionales “game location” (local o visitante), “team quality” (mejores o peores clasificados) y “competition” (fases de LR y Playoff). Para la interpretación de los resultados se han realizado los siguientes análisis descriptivos: 1) Análisis Discriminante, 2) Regresión Lineal Múltiple; y 3) Análisis del Modelo Lineal General Multivariante. La investigación cualitativa se ha basado en la técnica de investigación de la entrevista semiestructurada. Se entrevistaron a 12 entrenadores que militaban en la Liga A.C.B. durante la temporada 2011/12, cuyo objetivo ha sido conocer el punto de vista que tiene el entrenador sobre el concepto del MC y que de esta forma pudiera dar un enfoque más práctico basado en su conocimiento y experiencia acerca de cómo actuar ante el MC en el baloncesto. Los resultados de ambas investigaciones coinciden en señalar la importancia del MC sobre el resultado final del juego. De igual forma, el concepto en sí entraña una gran complejidad por lo que se considera fundamental la visión científica de la observación del juego y la percepción subjetiva que presenta el entrenador ante el fenómeno, para la cual los aspectos psicológicos de sus protagonistas (jugadores y entrenadores) son determinantes. ABSTRACT The Critical Moment (CM) in basketball is a related phenomenon with the game that has particular features determined by the idiosyncrasies of a team and can affect the players and therefore the future of the game. In this Thesis we have studied the impact of CM in the A.C.B. League and from a profound development two investigations have been raised, quantitative and qualitative whose methodology is as follows: The quantitative research is based on the technique of study "Performance analysis", for this we have studied four seasons in the A.C.B. League (2007/08 to 2010/11), and as reflected in the literature the Critical Moments of the games were taken from the last five minutes of games where the point spread was six points and all overtimes disputed, such that 197 critical moments have been studied. The contextualization of the study has been based on the situational variables "game location" (home or away), "team quality" (better or lower classified) and "competition" (LR and Playoff phases). For the interpretation of the results the following descriptive analyzes were performed: 1) Discriminant Analysis, 2) Multiple Linear Regression Analysis; and 3) Analysis of Multivariate General Linear Model. Qualitative research is based on the technique of investigation of a semi-structured interview. 12 coaches who belonged to the A.C.B. League were interviewed in seasons 2011/12, which aimed to determine the point of view that the coach has on the CM concept and thus could give a more practical approach based on their knowledge and experience about how to deal with the CM in basketball. The results of both studies agree on the importance of the CM on the final outcome of the game. Similarly, the concept itself is highly complex so the scientific view of the observation of the game is considered essential as well as the subjective perception the coach presents before the phenomenon, for which the psychological aspects of their characters (players and coaches) are crucial.